Topic: Electronics Engineering
Determine the discrete-time Fourier Transform for the signal $x[n]=[-2,-1,0,1,2]$ ↑ $n=0$
- A. $2~j(2~sin~2~\omega+sin~\omega)$
- B. $-2j(2~sin~2~\omega+sin~\omega)$
- C. 2(2cos 2 - cos )
- D. -2(2cos 2 - cos )
Answer: B. $-2j(2~sin~2~\omega+sin~\omega)$
Explanation: $x(e^{j\omega})=\sum_{n=-2}^{2}x[n]e^{-j\omega n}$
$=-2e^{j2\omega}-e^{j\omega}+0+e^{-j\omega}+2e^{-j2\omega}$
$=-2(cos~2~\omega+j~sin~2~\omega)-(cos~\omega+j~sin~\omega) +cos~\omega-j~sin~\omega+2(cos~2~\omega-j~sin~2~\omega)$
$=-2~cos~2\omega-2j~sin~2\omega-cos~\omega-j~sin~\omega+cos~\omega -j~sin~\omega+2~cos~2\omega-2j~sin~2\omega$
$=-4j~sin~2\omega-2j~sin~\omega = -2j(2~sin~2\omega+sin~\omega)$